Esta entradilla se la dedico a mi compañero de piso Fernando con quien he compartido buenas charlas sobre estos enredos aritméticos que procedo a escribir. Como tu ya te los sabes, me imagino que lo leerás a toda mecha... (a toda mecha, !cuánto hacía que no usaba esta expresión!... así que a ver si por lo menos te entretengo con la musiquilla que ponga. A ver, ¿que puedo poner para amenizar cuestiones numéricas?, pues mira, un poquito de Tubular Bells de Mike Oldfield igual le viene al pelo, es repetitivo pero no tan machacón como el Bolero de Rabel. Es altamente recomendable que pongan ustedes su equipo de música a toda pastilla... je, je, a toda pastilla.
¿Y por qué un rollo matemático para hoy? Es que no podía dormir, como siempre, y me puse a escribir mentalmente cantidades en distintas bases para ver si me aturdía un poco y lograba terminar el día, pero esta técnica no funciona sino que me mantiene despierto. Tanto es así que también la utilizo cuando viajo solo para mantener la atención al volante. No sé, quizás me puse a pensar en números no para agotar mis circuitos neuronales y rendir mi cerebro al sueño, sino más bien para no pensar en otras cosas más agobiantes.
Jugar con los números es muy entretenido. Por ejemplo puedes jugar con los dígitos del cuentakilómetros, seguro que a muchos de vosotros os encanta ver el instante en que este marca una cifra bonita. Yo hasta tenía una foto con el kilómetro 111111 y el velocímetro marcando 111 Km/h.
Los resultados de estos juegos son muy poco útiles pero dan cierta dosis de satisfacción. Un día llegué a la conclusión de que hay muchos más números posibles en un cuentakilómetros en los que se repita, al menos un dígito, que números formados por 6 dígitos distintos, esta es my fácil de intuir. ¿Cuátos hay de cada?
Bueno, en total hay un millón de números, ¿verdad?, desde el 000000 hasta el 999999, ambos incluidos. Para fabricar un número sin repetición puedes empezar por el que más rabia te dé de entre los 10 dígitos posibles, (por ejemplo el 0), para la siguiente posición contarás con nueve posibilidades, en la siguiente tendrás una posibilidad menos, o sea 8, luego 7, después 6 y finalmente para la última posición solo te quedarán 5 opciones. Luego en el cuentakilómetros hay exactamente 10x9x8x7x6x5 = 151.200 números posibles en los que no se repita ninguno de los dígitos que los forman. Y, por lo tanto, 1.000.000 - 151.200 = 848.800 en los que sí hay, al menos, una repetición.
Para lograr el primero de estos números hay que hacer 012345 Km y si los coches de ahora no vinieran con todas sus obsolescencias tecnológicas incorporadas, el último número antes de darle la vuelta al marcador sería el 987654. ¿Y cual es el tramo más largo de "números con repetición de dígitos", seguidos? ¡Pues este precisamente! Entre el 987655 y el 012344 vas a estar conduciendo durante 23690 Km en los que siempre habrá un número en el que se repita algún dígito en el cuentakilómetros. Si, pa la cosa de rizar el rizo, aplicamos la obsolescencia del producto, y pensamos que como mucho le vamos a hacer 210.000 Km al coche... Veamos que pasa: Lo propio es estudiar dos tramos distintos: entre el 000000 y el 199999 por un lao y el 200000 y el 210000 por el otro.
En el primer tramo para la primera posición (centenas de millar) sólo tendré 2 opciones la del 0 y el 1, y para las siguientes posiciones tendré 9,8,7,6 y 5 posibilidades. Luego habrá 2x9x8x7x6x5 = 30.240 posibles números de estos tan feos.
Para el siguiente tramo, me quedan 10.001 Km en estudio donde no podré usar el 2 porque ya lo he usado para las centenas de millar, en las decenas de millar tendré las opciones posibles del 0 y del 1 y luego tendré 8 opcines, 7, 6 y 5, es decir: 2x8x7x6x5 = 3.360. Sumando tramos, un coche de los de ahora enseñará a su dueño 33.600 números con todos sus dígitos distintos a su dueño.
Al final le terminas cogiendo manía a algunos números y te pasa como cuando vas andando por la calle y no quieres pisar raya... ¿Os acordáis de aquella fantástica película, "Mejor imposible"?, os pongo un enlace a mi zona youtube.
¿Y por qué un rollo matemático para hoy? Es que no podía dormir, como siempre, y me puse a escribir mentalmente cantidades en distintas bases para ver si me aturdía un poco y lograba terminar el día, pero esta técnica no funciona sino que me mantiene despierto. Tanto es así que también la utilizo cuando viajo solo para mantener la atención al volante. No sé, quizás me puse a pensar en números no para agotar mis circuitos neuronales y rendir mi cerebro al sueño, sino más bien para no pensar en otras cosas más agobiantes.
Jugar con los números es muy entretenido. Por ejemplo puedes jugar con los dígitos del cuentakilómetros, seguro que a muchos de vosotros os encanta ver el instante en que este marca una cifra bonita. Yo hasta tenía una foto con el kilómetro 111111 y el velocímetro marcando 111 Km/h.
Los resultados de estos juegos son muy poco útiles pero dan cierta dosis de satisfacción. Un día llegué a la conclusión de que hay muchos más números posibles en un cuentakilómetros en los que se repita, al menos un dígito, que números formados por 6 dígitos distintos, esta es my fácil de intuir. ¿Cuátos hay de cada?
Bueno, en total hay un millón de números, ¿verdad?, desde el 000000 hasta el 999999, ambos incluidos. Para fabricar un número sin repetición puedes empezar por el que más rabia te dé de entre los 10 dígitos posibles, (por ejemplo el 0), para la siguiente posición contarás con nueve posibilidades, en la siguiente tendrás una posibilidad menos, o sea 8, luego 7, después 6 y finalmente para la última posición solo te quedarán 5 opciones. Luego en el cuentakilómetros hay exactamente 10x9x8x7x6x5 = 151.200 números posibles en los que no se repita ninguno de los dígitos que los forman. Y, por lo tanto, 1.000.000 - 151.200 = 848.800 en los que sí hay, al menos, una repetición.
Para lograr el primero de estos números hay que hacer 012345 Km y si los coches de ahora no vinieran con todas sus obsolescencias tecnológicas incorporadas, el último número antes de darle la vuelta al marcador sería el 987654. ¿Y cual es el tramo más largo de "números con repetición de dígitos", seguidos? ¡Pues este precisamente! Entre el 987655 y el 012344 vas a estar conduciendo durante 23690 Km en los que siempre habrá un número en el que se repita algún dígito en el cuentakilómetros. Si, pa la cosa de rizar el rizo, aplicamos la obsolescencia del producto, y pensamos que como mucho le vamos a hacer 210.000 Km al coche... Veamos que pasa: Lo propio es estudiar dos tramos distintos: entre el 000000 y el 199999 por un lao y el 200000 y el 210000 por el otro.
En el primer tramo para la primera posición (centenas de millar) sólo tendré 2 opciones la del 0 y el 1, y para las siguientes posiciones tendré 9,8,7,6 y 5 posibilidades. Luego habrá 2x9x8x7x6x5 = 30.240 posibles números de estos tan feos.
Para el siguiente tramo, me quedan 10.001 Km en estudio donde no podré usar el 2 porque ya lo he usado para las centenas de millar, en las decenas de millar tendré las opciones posibles del 0 y del 1 y luego tendré 8 opcines, 7, 6 y 5, es decir: 2x8x7x6x5 = 3.360. Sumando tramos, un coche de los de ahora enseñará a su dueño 33.600 números con todos sus dígitos distintos a su dueño.
Al final le terminas cogiendo manía a algunos números y te pasa como cuando vas andando por la calle y no quieres pisar raya... ¿Os acordáis de aquella fantástica película, "Mejor imposible"?, os pongo un enlace a mi zona youtube.
Pues eso, según como me pille, a veces tengo ganas de que lleguen los números con repetición que son como más asentaditos, más colegas entre sí, no así los otros, ¡alee, barrizal!, ¡cada uno a su bola!, ahí, ¡sin orden ni concierto! Son como las rayas del suelo... Según el día pueden parecérseme más, a señoras rayas de un paso de cebra, o bien, a vulgares e insignificantes juntas entre baldosas.
Otro día nos dio por decir que teníamos que comprar un décimo con el número CACA. Debía ser por esta época porque se trataba del sorteo de Navidad. No hubo manera, todos los posibles números CACA estaban agotados. Se conoce que hay mucha gente que no gusta de pisar raya o, en este caso, que enreda con la aritmética.
Gracias a los árabes, que inventaron el cero, utilizamos para expresar las cantidades, la base decimal y no un sistema gracioso pero dificultoso, como el que usaban los romanos. Siempre me he preguntado cómo demonios lograron la perfección de sus obras de ingeniería, haciendo cálculos con sus números. ¿Hacemos una cuenta cualquiera en números romanos?, venga.
XXXIV sillares de XX pulgadas de grosor van a formar un "tabique" de... DCLXXX pulgadas de alto. Yo he tenido que traducirlo primero.
Gracias al cero, nosotros formamos los números en base 10, o en cualquier otra. Por ejemplo, 39 añitos que tiene La Furcha se pueden expresar así:
En base 10: voy a necesitar dos golpes, en el primero llego a 30 y en el segundo pongo los 9 que me faltan: 30 + 9 = 39. Esto es aquello de las decenas y las unidades, lo que hacemos es buscar la potencia de 10 inmediata a aquella en la que te pasas. La potencia segunda de nuestra base (base 10), 10^2, ya se pasa, por lo tanto empezamos por la anterior 10^1 y elegimos el dígito inmediato a aquel con el que te pasas, (que sería el 4), entonces el 3. Luego descendemos a la siguiente potencia (10^0, que es igual a 1) y lo multiplicamos por lo que necesitamos que es el 9. Es decir, formamos el número tal que así, aunque no somos conscientes de ello, porque nos enseñaron lo de las decenas, centenas y etc: 30 = 3x10^1 + 9x10^0, o sea, 30 + 9.
Igual alguno de vosotros, como muchas sois de letras, no sabíais que cualquier número del mundo mundial, (excepto el cero) elevado a cero es igual a uno. Para comprobarlo podéis tirar de calculadora buena, buena hacer múltiples raíces cuadradas a cualquier número, "suscesivamente". Cuando hayáis hecho 7 raíces consecutivas de un número equivaldrá a elevarlo al número (1/128) que se acerca mucho a cero (más, menos 0.008) y ya habréis comprobado que el resultado se acerca muchísimo a 1. Ya de paso, decidle a la calculadora que os diga cuanto es ese número elevado a cero y veréis que os dice 1.
Con las demás bases se hace lo mismo. Veamos como queda la edad de La Furcha en base 2, que es la que se utiliza en computación: como 2^6 = 64, con la potencia 6 ya me pasé, luego voy a necesitar 6 golpes: 1 x2^5 + 0 x2^4 + 0 x2^3 + 1 x2^2 + 1 x2^1 + 1 x2^0, o sea que 39 en binario es el número 100111 (32+0+0+4+2+1).
En base 7, siguiendo el mismo proceso tendríamos: 54 (5 x 7^1 + 4 x7^0 = 35+4), La Furcha sigue teniendo una edad de 39 años, que expresados en base 7, serían 54.
Cuando se usan bases superiores a la decimal tenemos que tirar de letras. Por ejemplo, la base 16, que también usan los informáticos, no sé "pa qué", usa los números del 0 al 9 y las letras de la A (para el valor 10) a la F (para el valor 15). Ahora ya podéis vislumbrar que era eso de los números CACA, pues son números expresados en base 13 o superior:
Así pues, CACA en base 13 es: 12 x 13^3 + 10 x 13^2 + 12 x 13^1 + 10 x 13^0 (26.364 + 1690 + 156 + 10) = 28.220
En base 14: 12 x 14^3 + 10 x 14^2 + 12 x 14^1 + 10 x 14^0 (32.928 + 1.960 + 168 + 10) = 35.066
En base 15: 12 x 15^3 + 10 x 15^2 + 12 x 15^1 + 10 x 15^0 (40.500 + 1.690 + 156 + 10) = 42.940
En base 16: 12 x 16^3 + 10 x 16^2 + 12 x 16^1 + 10 x 16^0 (49.152 + 2.560 + 192 + 10) = 51.914
En base 17: 12 x 17^3 + 10 x 17^2 + 12 x 17^1 + 10 x 17^0 (58.956 + 2.890 + 204 + 10) = 62.060
En base 18: 12 x 18^3 + 10 x 18^2 + 12 x 18^1 + 10 x 18^0 (69.984 + 3.240 + 216 + 10) = 73.450
En base 19: 12 x 19^3 + 10 x 19^2 + 12 x 19^1 + 10 x 19^0 (82.308 + 3.610 + 228 + 10) = 86.156
Bueno, pues todos estos números de lotería estaban agotados por estas fechas el año pasado. Los números CACA.
Al final no sé a qué números jugamos que nos tocó algo, un par de terminaciones o así y reinvertimos parte de ello en lotería del niño que volvimos a recuperar... y entonces fue cuando hicimos aquella maravillosa quiniela, que si llegamos a acertar, hubieramos copado 31 de los acertantes de esa jornada, porque hubo una columna que repetimos esas veces (1F en base hexadecimal), pero bueno, esa ya es otra historia.
Fernan, recibe un fuerte abrazo de tu compi.
Otro día nos dio por decir que teníamos que comprar un décimo con el número CACA. Debía ser por esta época porque se trataba del sorteo de Navidad. No hubo manera, todos los posibles números CACA estaban agotados. Se conoce que hay mucha gente que no gusta de pisar raya o, en este caso, que enreda con la aritmética.
Gracias a los árabes, que inventaron el cero, utilizamos para expresar las cantidades, la base decimal y no un sistema gracioso pero dificultoso, como el que usaban los romanos. Siempre me he preguntado cómo demonios lograron la perfección de sus obras de ingeniería, haciendo cálculos con sus números. ¿Hacemos una cuenta cualquiera en números romanos?, venga.
XXXIV sillares de XX pulgadas de grosor van a formar un "tabique" de... DCLXXX pulgadas de alto. Yo he tenido que traducirlo primero.
Gracias al cero, nosotros formamos los números en base 10, o en cualquier otra. Por ejemplo, 39 añitos que tiene La Furcha se pueden expresar así:
En base 10: voy a necesitar dos golpes, en el primero llego a 30 y en el segundo pongo los 9 que me faltan: 30 + 9 = 39. Esto es aquello de las decenas y las unidades, lo que hacemos es buscar la potencia de 10 inmediata a aquella en la que te pasas. La potencia segunda de nuestra base (base 10), 10^2, ya se pasa, por lo tanto empezamos por la anterior 10^1 y elegimos el dígito inmediato a aquel con el que te pasas, (que sería el 4), entonces el 3. Luego descendemos a la siguiente potencia (10^0, que es igual a 1) y lo multiplicamos por lo que necesitamos que es el 9. Es decir, formamos el número tal que así, aunque no somos conscientes de ello, porque nos enseñaron lo de las decenas, centenas y etc: 30 = 3x10^1 + 9x10^0, o sea, 30 + 9.
Igual alguno de vosotros, como muchas sois de letras, no sabíais que cualquier número del mundo mundial, (excepto el cero) elevado a cero es igual a uno. Para comprobarlo podéis tirar de calculadora buena, buena hacer múltiples raíces cuadradas a cualquier número, "suscesivamente". Cuando hayáis hecho 7 raíces consecutivas de un número equivaldrá a elevarlo al número (1/128) que se acerca mucho a cero (más, menos 0.008) y ya habréis comprobado que el resultado se acerca muchísimo a 1. Ya de paso, decidle a la calculadora que os diga cuanto es ese número elevado a cero y veréis que os dice 1.
Con las demás bases se hace lo mismo. Veamos como queda la edad de La Furcha en base 2, que es la que se utiliza en computación: como 2^6 = 64, con la potencia 6 ya me pasé, luego voy a necesitar 6 golpes: 1 x2^5 + 0 x2^4 + 0 x2^3 + 1 x2^2 + 1 x2^1 + 1 x2^0, o sea que 39 en binario es el número 100111 (32+0+0+4+2+1).
En base 7, siguiendo el mismo proceso tendríamos: 54 (5 x 7^1 + 4 x7^0 = 35+4), La Furcha sigue teniendo una edad de 39 años, que expresados en base 7, serían 54.
Cuando se usan bases superiores a la decimal tenemos que tirar de letras. Por ejemplo, la base 16, que también usan los informáticos, no sé "pa qué", usa los números del 0 al 9 y las letras de la A (para el valor 10) a la F (para el valor 15). Ahora ya podéis vislumbrar que era eso de los números CACA, pues son números expresados en base 13 o superior:
Así pues, CACA en base 13 es: 12 x 13^3 + 10 x 13^2 + 12 x 13^1 + 10 x 13^0 (26.364 + 1690 + 156 + 10) = 28.220
En base 14: 12 x 14^3 + 10 x 14^2 + 12 x 14^1 + 10 x 14^0 (32.928 + 1.960 + 168 + 10) = 35.066
En base 15: 12 x 15^3 + 10 x 15^2 + 12 x 15^1 + 10 x 15^0 (40.500 + 1.690 + 156 + 10) = 42.940
En base 16: 12 x 16^3 + 10 x 16^2 + 12 x 16^1 + 10 x 16^0 (49.152 + 2.560 + 192 + 10) = 51.914
En base 17: 12 x 17^3 + 10 x 17^2 + 12 x 17^1 + 10 x 17^0 (58.956 + 2.890 + 204 + 10) = 62.060
En base 18: 12 x 18^3 + 10 x 18^2 + 12 x 18^1 + 10 x 18^0 (69.984 + 3.240 + 216 + 10) = 73.450
En base 19: 12 x 19^3 + 10 x 19^2 + 12 x 19^1 + 10 x 19^0 (82.308 + 3.610 + 228 + 10) = 86.156
Bueno, pues todos estos números de lotería estaban agotados por estas fechas el año pasado. Los números CACA.
Al final no sé a qué números jugamos que nos tocó algo, un par de terminaciones o así y reinvertimos parte de ello en lotería del niño que volvimos a recuperar... y entonces fue cuando hicimos aquella maravillosa quiniela, que si llegamos a acertar, hubieramos copado 31 de los acertantes de esa jornada, porque hubo una columna que repetimos esas veces (1F en base hexadecimal), pero bueno, esa ya es otra historia.
Fernan, recibe un fuerte abrazo de tu compi.
